CÁCH TÌM CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ở bài này ta chỉ xét cực trị của hàm hai biến z = f(x,y).

Bạn đang xem: Cách tìm cực trị hàm 2 biến

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm

*

1. Định nghĩa:

Ta nói

*
là điểm cực tiểu (hoặc cực đại), nếu tồn tại
*
_lân cận của
*
sao cho:

*

(

*
)

Nếu hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu (địa phương) tại

*
thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại
*

Nhận xét:

– Hàm số

*
đạt cực tiểu (cực đại) tại
*
nếu:
*

– Nếu

*
thay đổi dấu khi
*
thay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại
*

Ví dụ: Bạn hãy xét xem hàm số

*
có đạt cực trị tại M(0;0) hay không?

Xét

*
là 1 điểm trong lân cận của M(0;0). Ta có:

*

Với

*
0 , {\Delta}y > 0 : {\Delta}f(0;0) > 0 " class="latex" />

Với

*

Vậy

*
thay đổi dấu nên hàm f không đạt cực trị tại M0.

2. Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm

*
đạt cực trị (địa phương) tại
*
và nếu f có các đạo hàm riêng tại
*
thì:

*

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại

*
(trường hợp hàm f đạt cực tiểu tại M0 hoàn toàn tương tự ).

Khi đó, xét hàm

*
ta có:
*
, với x trong 1 khoảng nào đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay:

*

Mặt khác:

*
. Vậy:
*

Tương tự, nếu xét hàm

*
ta sẽ có:
*

Điểm

*
mà tại đó
*
, được gọi là điểm dừng.

Xem thêm: Cách Nấu Xôi Chè Ngon Cho Ngày Lễ Tết Nguyên Đán Thêm Trọn Vẹn

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số

*
có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng
*

Đặt:

*

Khi đó:

a. Nếu

*
0) thì f đạt cực tiểu tại M0.

b. Nếu

*

c. Nếu

*
0 " class="latex" /> thì f không đạt cực trị tại M0.

d. Nếu

*
ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Ta công nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, dựa vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Khi đó, ta sẽ xét dấu cho vi phân cấp 2 trong khai triển Taylor. Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor trong giáo trình Toán học Cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem chứng minh 1 cách dễ hiểu nhất, bạn có thể xem trong cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop (tập 2).